sábado, 25 de septiembre de 2010

TEORIA DE CONJUNTOS

LA TEORÍA DE CONJUNTOS
Rama de las matemáticas a las que el matemático Georg Ferdinand Ludwing Philipp Cantor es el padre de la Teoría de Conjuntos, dio su primer tratamiento formal en 1870. El concepto de conjunto es uno de los más fundamentales en matemáticas, incluso más que la operación de contar, pues se puede encontrar implícita o explícitamente, en todas las ramas de las matemáticas puras y aplicadas. En su forma explícita, los principios y terminología de los conjuntos se utilizan para construir proposiciones matemáticas más claras y precisas y para explicar conceptos abstractos como el infinito.
En el año 1874, apareció el primer trabajo revolucionario de Cantor sobre la Teoría de conjuntos.

QUE ES UN CONJUNTO
Sabemos que la palabra conjunto implica la idea de una colección de objetos que se caracterizan en algo común.
En matemática tiene el mismo significado, sólo que a estos objetos se les llama elementos o miembros del conjunto.
La noción simple de una colección o conjunto de objetos es fundamental en la estructura básica de las matemáticas y fue Georg Cantor, en los años 1870 quien primero llamó la atención de los matemáticos a este respecto.
No puede darse una definición satisfactoria de un conjunto en términos de conceptos simples, por lo tanto la palabra "CONJUNTO" debe aceptarse lógicamente como un término no definido.
Un conjunto es una colección bien definida de objetos de cualquier clase.

DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO
Hay dos formas de determinar conjuntos.
ó Forma Tabular
Se dice que un conjunto es determinado por extensión (o enumeración), cuando se da una lista que comprende a todos los elementos del conjunto y sólo a ellos.
A = { a, e, i, o, u }
B = { 0, 2, 4, 6, 8 }
C = { c, , , j, u, t, s } En un conjunto determinado por extensión no se repite un mismo elemento.
ó Forma Constructiva
Se dice que un conjunto es determinado por comprensión, cuando se da una propiedad que la cumpla en todos los elementos del conjunto y sólo a ellos.
A = { x/x es una vocal }
B = { x/x es un número par menor que 10 }
C = { x/x es una letra de la palabra conjuntos }

Vamos a mostrarte un cuadro comparativo de determinación de conjuntos
A = { a, e, i, o, u } A = { x/x es una vocal }
B = { 0, 2, 4, 6, 8 } B = { x/x es un número par menor que 10 }
C = { c, , , j, u, t, s } C = { x/x es una letra de la palabra conjuntos }
D = { 1, 3, 5, 7, 9 } D = { x/x es un número impar menor que 10 }
E = { b, c, d, f, g, h, j, . . . } E = { x/x es una consonante }

POR  DIAGRAMA DE VENN O FORMA GRAFICA
A cada conjunto se le considera encerrado dentro de una curva (plana) cerrada. Los elementos del conjunto considerado pueden ser específicamente dibujados o pueden quedar (implícitamente) sobreentendidos. Los diagramas son empleados, para representar tanto a los conjuntos como a sus operaciones, y constituyen una poderosa herramienta geométrica, desprovista de validez lógica.
A continuación representaremos algunos conjuntos y verificaremos algunas igualdades (las intersecciones de dos o más conjuntos quedan caracterizados por el rayado múltiple).
El gráfico es la representación de la unión
El gráfico es la representación de la intersección
El gráfico es la representación de la diferencia

 CLASES DE CONJUNTOS
CONJUNTOS FINITOS
Un conjunto es finito si consta de un cierto número de elementos distintos, es decir si al contar los diferentes elementos del conjunto el proceso de contar puede acabar. En caso contrario, el conjunto es infinito.
M = { x / x es un río de la tierra } Conjunto finito
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... } Conjunto infinito
P = { x / x es un país de la tierra } Conjunto finito
V = { 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, ... } Conjunto infinito

IGUALDAD DE CONJUNTOS
Se dice que 2 conjuntos A y B son iguales cuando ambos tienen los mismos elementos, es decir si cada elemento de A pertenece a B y si cada elemento que pertenece a B pertenece también a A. La igualdad se denota A = B.
En la igualdad, el orden de los elementos de cada conjunto no importa.
A = {1, 2, 3, 4} C = {1, 2, 3, 3, 4, 1} E = {vocal de la palabra mundo}
B = {3, 4, 1, 2} D = {1, 2, 2, 3, 4, 4,} F = {u, o}
A = B
C = D
E = F


CONJUNTO VACÍO
Es un conjunto que carece de elementos. Se suele llamarle conjunto nulo, y se le denota por el símbolo ø o { }.
A = { Los perros que vuelan } A = { } A = Ø
B = { x / x es un mes que tiene 53 días} B = { } B = Ø
C = { x / x3 = 8 y x es impar } C = { } C = Ø
D = { x / x es un día de 90 horas } D = { } D = Ø

CONJUNTO UNITARIO
Es todo conjunto que está formado por un sólo y único elemento.
A = { 5 }
B = {números pares entre 6 y 10} = { 8 }
C = {la capital del Perú } = { Lima }
D = {x / 2x = 6} = {3}

CONJUNTO UNIVERSAL
Es el conjunto que contiene a todos los elementos del discurso. Es un término relativo. Se le denota por la letra U.
Sean los conjuntos:
A = { aves } B = { peces } C = { conejos } D = { monos }
Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos A, B, C y D. Es
U = { animales }
Gráficamente se representa por un rectángulo tal como se observa a continuación.
Representación gráfica de un conjunto universal
Sean los conjuntos:
E = { mujeres } F = { hombres }
Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos E y F. Es
U = { seres humanos }
Gráficamente se representa por un rectángulo tal como se observa a continuación.
Representación gráfica de un conjunto universal


CONJUNTO POTENCIA
La familia de todos los subconjuntos de un conjunto M se llama Conjunto Potencia de M. Se le denota como 2M .
a) M = { 1, 2 } El conjunto M tiene 2 elementos
2M = { {1}, {2}, {1, 2}, ø} entonces 22 = 4 elementos
b) M = { 1, 2, 3 } El conjunto M tiene 3 elementos
2M = { {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, ø} entonces 23 = 8 elementos
Si un conjunto M es finito con "n" elementos, entonces su conjunto potencia 2M tendrá 2n elementos.

CONJUNTOS DISJUNTOS
Si dos conjuntos A y B no tienen ningún elemento común entonces A y B son disjuntos.
Conjuntos disjuntos Conjuntos no disjuntos
A = { 2, 4, 6 } M = { o, p, q, r, s }
B = { 1, 3, 5 } N = { s, t, v, u }
A y B son disjuntos. M y N no son disjuntos.
C = { x/x es una letra del alfabeto } P = { x/x es una letra de la palabra aritmética }
D = { x/x es un número } Q = { x/x es una letra de la palabra algebra }
C y D son disjuntos P y Q no son disjuntos

FORMAS DE REPRESENTAR UN CONJUNTO
UNIÓN DE CONJUNTOS
La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota: A U B. La unión de conjuntos se define como:
A U B = {x / x A o x B}
En forma gráfica:
Observa la representación gráfica de la unión
Cuando no tienen Cuando tienen algunos Cuando todos los elementos de un
elementos comunes elementos comunes conjunto pertenecen a otro conjunto
Observa los 3 ejemplos siguientes
1. Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8 }, efectuar y construir los diagramas respectivos:
a) A U C b) B U C c) A U B
Tenemos:
Observa el ejemplo a
a) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y C = { 5, 6, 8 }
A U C = { 0, 1, 2, 3, 4, , 6, 8 }
Representación gráfica de la unión de conjuntos A y C


INTERSECCIÓN DE CONJUNTO
Se define la intersección de dos conjuntos A y B al conjunto de elementos que son comunes a A y B. Se denota por A B, que se lee: A intersección B. La intersección de A y B también se puede definir:
A B = { x / x A y x B } y mediante un diagrama de Venn-Euler:
Cuando tienen Cuando no tienen Cuando todos los elementos de un
elementos comunes elementos comunes conjunto pertenecen a otro conjunto
1. Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 3, 5, 7 } y C = { 2, 4 }, efectuar y construir los diagramas respectivos:
a) A C b) B C c) A B
Tenemos:
a) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y C = { 2, 4 }
A C = { , }
Representación gráfica de la intersección de conjuntos A y C

DIFERENCIA DE CONJUNTOS
Se denomina diferencia de dos conjuntos A y B al conjunto formado por todos los elementos de A pero que no pertenecen a B.
La diferencia se denota por: A - B que se lee: A diferencia B o A menos B. Se define la diferencia de dos conjuntos también como:
A - B = {x / x A y x B}
Mediante un diagrama de Venn - Euler:
Cuando no tienen Cuando tienen Cuando todos los elementos de un
elementos comunes elementos comunes conjunto pertenecen a otro conjunto
1. Dados los conjuntos: A = { a, b, c, d, e }, B = { a, e } y C = { d, f, g }, efectuar y construir los diagramas respectivos:
a) A - C b) B - C c) A - B
Tenemos:
a) A = { a, b, c, d, e } y C = { d, f, g }
A - C = { a, b, c, e }
Representación gráfica de la diferencia de conjuntos A y C

 COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO
Si un conjunto A es subconjunto de otro conjunto universal U, al conjunto A' formado por todos los elementos de U pero no de A, se llama complemento de A con respecto a U. Simbólicamente se expresa:
A' = { x/x U y x A }
a) Sean U = { m, a, r, t, e } y A = { t, e }
Su complemento de A es: A' = { m, a, r }
En forma gráfica:
b) Sean U = { letras de la palabra aritmética} y B = { vocales de la palabra vida }
Determinado por extensión tenemos
U = { a, r, i, t, m, e, c } B = { i, a }
Su complemento de B es: B' = { r, t, m, e, c }
En forma gráfica:

EJERCICIOS CON SUS RESPECTIVAS RESPUESTAS
EJERCICIOS DE CONJUNTOS
Preguntas
1) Cuáles son los elementos de:
a) El conjunto de los dias de la semana
b) El conjunto de las estaciones del año
c) Los números impares menores de 11
d) Los números pares mayor que 10 y menor que 20
e) Los números primos menores de 15
2) Colocar V ó F según lo afirmado sean verdadero o falso
a) 6 { 2, 4, 5, 6, 9 } ( )
b) y { o, p, q, x } ( )
c) x { o, p, q, y } ( )
d) Perú { países de Europa } ( )
e) Amazonas { rios de América } ( )
3) ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son: vacios, unitarios, finitos, infinitos?
a) A = { x / x es día de la semana} . . . . .
b) B = { vocales de la palabra vals} . . . . .
c) C = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . . .} . . . . .
d) D = { x / x es un habitante de la luna} . . . . .
e) E = { x N / x < 15} . . . . .
f) F = { x N y 5 < x < 5 } . . . . .
g) G = { x N y x > 15} . . . . .
h) H = { x N y x = x} . . . . .
i) I = { x / x es presidente del Oceano Pacífico} . . . . .
j) J = { x / x es número de cabellos total de los habitantes del Perú } . . . . .

RESPUESTA DE EJERCICIOS DE CONJUNTOS
1) Cuáles son los elementos de:
a) A = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo }
b) B = {verano, otoño, invierno, primavera }
c) C = {1, 3, 5, 7, 9 }
d) D = {12, 14, 16, 18 }
e) E = {1, 2, 3, 5, 7, 11, 13 }
2) Colocar V ó F según lo afirmado sean verdadero o falso
a) 6 { 2, 4, 5, 6, 9 } ( V )
b) y { o, p, q, x } ( F )
c) x { o, p, q, y } ( V )
d) Perú { países de Europa } ( F )
e) Amazonas { rios de América } ( F )
3) ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son: vacios, unitarios, finitos, infinitos?
a) A = { x / x es día de la semana} finito
b) B = { vocales de la palabra vals} unitario
c) C = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . . .} infinito
d) D = { x / x es un habitante de la luna} vacio
e) E = { x N / x < 15} finito
f) F = { x N y 5 < x < 5 } vacio
g) G = { x N y x > 15} infinito
h) H = { x N y x = x} unitario
i) I = { x / x es presidente del Oceano Pacífico} vacio
j) J = { x / x es número de cabellos total de los habitantes del Perú } infinito

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